Это и каналы связи со случайными шумами. Это и ошибки измерений, носящие

случайный характер. Это и точности изготовления деталей и т.д. и т.п.

Отсюда следует, что при соответствующих заменах блоков каждый

эксперимент на системной модели должен носить случайный характер.

5.2.2. Моделирование сложных систем и опытно-теоретический метод их

испытаний

Рассмотрение истории вопроса появления и развития моделирования

показало, что цель создания любой модели - испытания некоторой системы.

При этом сегодня речь идет о компьютерной реализации и испытаниях модели

системы в условиях, которые или невозможно, или достаточно дорого создать

для проведения натурных испытаний реальной системы, или это сопряжено с

большими временными затратами.

В то же время из проведенного рассмотрения отличий модели от

представляемого ею объекта (процесса, явления) следует, что полностью

положиться на результаты моделирования, выступающего в качестве

единственного источника получения характеристик указанного объекта

(процесса, явления) не представляется возможным.

Отсюда логически вытекает необходимость сочетания моделирования и

натурных испытаний для совместного получения показателей соответствующей

системы. Соответствующий метод и получил название опытно-теоретического.

Здесь необходимо заметить: когда речь идет о натурных испытаниях

системы, подразумевают натурные испытания ее элементов или сокращенного,

упрощенного варианта. В противном случае пришлось бы создать систему в

целом, не зная заранее, как она будет выполнять те или иные задачи. А

если при этом система окажется неспособной выполнить свое назначение и

затраты нецелесообразными? Но система создана?! В связи с этим и цель

опытно-теоретического метода - избежать нецелесообразных затрат, используя

сочетание экспериментальных данных в ограниченном объеме и моделирования -

во всей области факторного пространства функционирования системы.

Суть опытно-теоретического метода, обязательно предполагающего

создание модели системы, сводится к выполнению следующих положений:

1)Получение для одних и тех же условий достаточного количества

реализаций показателей функционирования системы или ее отдельных блоков в

натурных испытаниях и на модели.

2)Проведение параметрической доработки модели на основе сравнения

результатов натурных экспериментов и моделирования, если структура модели

удовлетворительна.

3)Проведение структурной перестройки модели, дополнительный учет

отдельных факторов, дополнение связей при наличии остаточной разности

между выходными характеристиками после попытки параметрической доработки.

4)Проверка статистической совместимости модели и системы в ряде

целенаправленно выбранных точек факторного пространства.

5)На основе выполненной калибровки модели (пункты 1-4) распространение

результатов испытаний системы с помощью моделирования на всю область

факторного пространства.

Таким образом достигается сначала изоморфность модели и системы, а

затем оценка этой системы на модели во всех возможных условиях

функционирования.

Упомянутый при этом отказ от создания системы в целом, замена ее

испытаний на испытания отдельных узлов, модулей, составляющих и т.п.

отражается на построении модели системы. Дело в том, что некоторые

результаты испытаний могут позволить, например, отдельные составляющие

системы не моделировать, описывая соответствующие физические процессы, не

искать для них точных математических описаний для реализации, а

воспользоваться полученными экспериментальными данными. Так, можно не

моделировать уходы параметров отдельных электронных и электромеханических

устройств, приводящие к их отказам, если в результате испытаний получены

характеристики надежности этих устройств (вероятность безотказной работы в

течение рабочего цикла, наработка на отказ, время безотказной работы). То

есть, натурные испытания могут явиться основанием для упрощения модели при

сохранении ее изоморфности системе.

Рассмотренный путь упрощения - не единственный. Во-первых, уже

упомянутый нами компромиссный характер создания модели системы (между

точностью и возможностью реализации) дает в отдельных случаях такие

основания. Тогда, как уже упоминалось можно отказаться от некоторых

деталей моделирования. Во-вторых, задачи, ставящиеся перед моделью могут

быть различными: оценка функционирования системы, оценка взаимодействия

системы с другими сложными системами, оценка характеристик системы во

всем диапазоне условий функционирования и т.д. Это приводит к тому, что при

испытаниях сложных систем имеют дело не с одной единственной моделью. Так

по своему назначению модели делятся на частные и системные.

Частные модели - это модели отдельных частей системы (подсистем,

узлов, агрегатов), позволяющие при высокой точности моделирования этих

частей получить исходные данные для использования в системной модели. В

результате системная модель не будет перегружена соответствующими

частными задачами, то есть, упростится и сможет стать реализуемой в

приемлемое время (например, в реальное время), с приемлемым

быстродействием и в допустимом объеме.

Системные модели включают в свой состав элементы, отражающие в той

или иной степени работу всех частей системы или напрямую используют

отдельные части системы. Они позволяют получить показатели качества всей

системы в целом. А так как таких показателей может быть несколько, то и

системных моделей может быть несколько. При таком разделении функций

исчезает сложность разрабатываемых моделей. Этим, в частности, объясняется

деление системных моделей на функциональные и комплексные. И если

функциональные модели предназначаются для испытаний функционирования

сложной системы в различных ситуациях, то комплексные обеспечивают:

-отработку и отладку программного обеспечения сложной системы;

-оценку характеристик отдельных средств и получение исходных данных

для полной оценки системы.

Л Е К Ц И Я 5.3

Метод статистических испытаний

(метод Монте-Карло)

5.3.1. Основное определение

Из рассмотрения принципов построения моделей сложных систем следует,

что при упрощениях модели и замене блоков, описывающих, как правило,

воздействия на систему и ее части, эксперимент на системной модели сложной

системы достаточно часто приобретает случайный характер. Случаен в силу

этого и выходной эффект системы от запуска модели к запуску. Для

проведения моделирования в таких условиях наиболее приемлемым является

метод моделирования, основанный на статистических испытаниях, так

называемый метод Монте-Карло.

Приемлемость указанного метода обусловливается тем, что

1)расчет оценок выходных параметров осуществляется с использованием

достаточно простых алгоритмов обработки.

2)просто и точно определяется необходимый объем моделирования из

условия достижения заданной точности оценок выходных показателей.

3)методика организации экспериментов на модели достаточно проста и

хорошо программно реализуема.

В этом легко убедиться на простых примерах. А пока рассмотрим

определение.

Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) состоит в решении

различных задач вычислительной математики путем построения для каждой

задачи случайного процесса с параметрами, равными искомым величинам этой

задачи. .

Рассмотрим простейшие примеры.

А. Пусть необходимо определить вероятность Pч того, что суммарное

число попаданий при стрельбе в “десятку” мишени при 10 выстрелах -

четно.

Известно, что если вероятность попадания в “десятку” при одном

выстреле равна p , то искомая вероятность согласно биномиальному закону

распределения вероятностей вычисляется так:

[pic]

Здесь [pic] - число сочетаний из 10 по 2k.

Если предварительно подсчитать все числа сочетаний при k=0…5

или использовать готовую таблицу сочетаний, то вычисления Pч по указанной

формуле потребуют 26 операций.

Вместо такого расчета можно было бы экспериментально выполнить N

серий стрельб по 10 выстрелов и определить из их числа количество серий nч

, в которых число попаданий в “десятку” - четное. Тогда при достаточно

большом N имеем

[pic]

Однако при таком подходе для получения достоверными в оценке Pч двух

знаков после запятой потребуется около 10 000 серий по 10 выстрелов.

Оказывается, что ЭВМ позволяет выполнить решение указанной задачи

третьим способом.

Как известно многие языки программирования имеют в составе

стандартных функций датчик случайных чисел, позволяющий формировать

случайную последовательность равномерно распределенных чисел на интервале

[0,1].

Поэтому вместо выстрела по мишени достаточно выбрать из датчика

указанное число со значением x и проверить выполнение неравенства x<p.

Если оно выполнено, то это соответствует попаданию в “десятку” с

вероятностью p. Покажем это.

Действительно вероятность попадания случайной величины в интервал

[0;p] равна

[pic],

где w(x) - плотность распределения вероятности

В нашем случае имеем дело с равномерным распределение на единичном

интервале, то есть w(x) = 1. Поэтом P0;р = p.

Выбираем теперь серии из 10 чисел x. Если при этом число “попаданий”

(выполнения неравенства x<p) будет четным, считаем серию удачной.

При N таким образом имитированных серий получим также, как и в прямом

эксперименте со стрельбами

[pic]

Однако в отличии от этого прямого эксперимента результат будет

получен здесь на современной ЭВМ не более чем за 10 с.

Таким образом задача в рассмотренном случае была решена (согласно

определению метода Монте-Карло) путем построения случайной

последовательности с параметром, равным искомой величине Pч. Эта

последовательность была построена следующим образом:

-формирование на первом этапе равномерно распределенной

последовательности на интервале [0,1] ;

-формирование на втором этапе новой случайной последовательности (N

серий) группировкой полученных на первом этапе значений в серии по 10;

-формирование на третьем этапе искомой случайной последовательности

путем выборки из последовательности серий второго этапа размера N таких,

в которых неравенство x<p выполняется четное число раз.

Количество серий третьего этапа формирования и определяет частость

[pic]

которая при N (( стремится к искомой величине Pч .

Б.Еще один пример, но из области непосредственного применения метода

Монте-Карло к вычислению интегралов.

Пусть необходимо вычислить

[pic]

При этом будем считать, что 0<=x<=1 и 0<= g(x) <=1 , то есть вся

функция лежит в единичном квадрате.

Такое ограничение не влияет на общность задачи, так как любой интеграл

заменой переменных и изменением масштаба может быть приведен к

рассматриваемому.

Y

1

y = g(x)

x

1

Рис.5.3.1.

Будем рассматривать две области на плоскости (x,y)

( - область, заданная неравенствами

0<= x <=1

0<= y <=1

w - область, ограниченная кривой y = g(x) и ординатами x=0 и x = 1.

Площадь области ( равна единице S1=1, а площадь области w(2 = I.

Зададим в области ( равномерное распределение случайных точек. Это

означает, что вероятность попадания точки с координатами xi , yi в область

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19