Коэффициент корреляции принимает значение от -1 (схема 4) до +1 (схема 1).

В этих пределах возможны все числовые значения коэффициента корреляции.

Если никакой связи между рядами не существует, то коэффициент равен 0

(схема 3). В подавляющем большинстве случаев коэффициент составляет

величину, не достигающую 1. При положительной корреляции при увеличении

числовых значений одного ряда соответственно увеличиваются числовые

значения другого ряда. При отрицательной корреляции увеличению числовых

значений одного ряда соответствует уменьшение числовых значений другого

ряда.

Если исследователь убежден в том, что оба коррелируемых ряда можно

рассматривать как ряды параметрические, то для вычисления коэффициента

корреляции применяется параметрический метод по формуле Пирсона:

[pic]

Существует много различных видов этой формулы, представляющих собой ее

преобразования. Исследователь сам выбирает удобную для себя формулу. Об

уровне значимости коэффициента корреляции судят по табл. 5, причем для г

число степеней свободы fd = п - 2, где п — объем выборки.

Вычисление коэффициента корреляции по Пирсону. Коэффициент показывает

тесноту связи между выполнением задач в тестах «Аналогии» и

«Классификации». Данные по тесту «Аналогии» обозначены х, а по тесту

«Классификации» — у.

Для упрощения расчетов введены некоторые тождества.

[pic]

|Испытуемые |х |y |х2 |y2 |ху |

|А |1 |3 |1 |9 |3 |

|Б |2 |4 |4 |16 |8 |

|В |3 |5 |9 |25 |15 |

|Г |3 |6 |9 |36 |18 |

|Д |4 |6 |16 |36 |24 |

|Е |4 |7 |16 |49 |28 |

|Ж |4 |7 |16 |49 |28 |

|3 |5 |8 |25 |64 |40 |

|И |5 |8 |25 |64 |40 |

|К |6 |8 |36 |64 |48 |

|Л |6 |8 |36 |64 |48 |

|М |7 |9 |49 |81 |63 |

|Н |8 |9 |64 |81 |72 |

|О |9 |10 |81 |100 |90 |

|П |10 |11 |100 |121 |110 |

|n = 15 |77 |109 |487 |859 |635 |

[pic]

Число степеней свободы fd = п - 2 = 15 - 2 = 13. По таблице уровней

значимости находим, что при 13 степенях свободы r0,999 = = 0,760.

Сравниваем это значение с полученным коэффициентом:

0,76 < 0,96.

Полученный коэффициент корреляции показывает, что между результатами в

тестах «Аналогии» и «Классификации» имеется связь. Высокий уровень

значимости свидетельствует о том, что эта связь с высокой вероятностью

будет воспроизводиться в таких же экспериментах.

Вычисление коэффициента корреляции по Спирмену (коэффициент ранговой

корреляции).

Исследовательское задание указано на с. 266. Формула ранговой корреляции

такова:

[pic]

где d — разность рангов ряда х и ряда у т.е. (Rx- Ry).

Таблица 6

|Испытуемые |х |Rx |y |Ry |dRxRy |R2 dRxR y |

|А |1 |1 |3 |1 |0 |0 |

|Б |2 |2 |4 |2 |0 |0 |

|В |3 |3,5 |5 |3 |0,5 |0,25 |

|Г |3 |3,5 |6 |4,5 |1 |1 |

|Д |4 |6 |6 |4,5 |1,5 |2,25 |

|Е |4 |6 |7 |6,5 |0,5 |0,25 |

|Ж |4 |6 |7 |6,5 |0,5 |0,25 |

|3 |5 |8,5 |8 |9,5 |1 |1 |

|И |5 |8,5 |8 |9,5 |1 |1 |

|К |6 |10,5 |8 |9,5 |1 |1 |

|Л |6 |10,5 |8 |9,5 |1 |1 |

|М |7 |12 |9 |12,5 |0,5 |0,25 |

|Н |8 |13 |9 |12,5 |0,5 |0,25 |

|О |9 |14 |10 |14 |0 |0 |

|П |10 |15 |11 |15 |0 |0 |

|n = 15 | | | | |?d2RxRy = 8,5 |

|n2 = 225 | | | | | |

fd = п - 2 = 15 - 2 = 13.

Производится раздельное ранжирование ряда х и ряда у. Вычисляется разность

рангов d попарно. Знак разности не существенен, так как по формуле нужно

возвести d в квадрат. Далее действия определяются формулой:

[pic]

По таблице уровней значимости ? > ?0,99 (0,98 > 0,70).

Коэффициенты, вычисленные двумя разными способами, как и нужно было

ожидать, чрезвычайно близки друг к другу; отличаются они на 0,02, что

никакого значения практически не имеет.

Нельзя трактовать коэффициент корреляции как величину, означающую процент

взаимозависимых связей вариант двух коррелируемых рядов, т.е. например,

коэффициент 0,50 трактовать как 50% таких связей этих рядов. Это далеко не

так. Об этом проценте вообще по коэффициенту корреляции судить нельзя.

Возведенный в квадрат коэффициент корреляции называется коэффициентом

детерминации (r2 или ?2). Он показывает, сколько процентов вариант обоих

рядов оказались взаимозависимыми. При коэффициенте 0,50 процент таких

взаимозависимых вариант составит 0,502, т.е. 0,25 (Heinz A., Ebner С.

Grundlagen der Statistik fiir Psychologen, Padagogen und Soziologen.

Berlin, 1967. S. 112). Для коэффициента 0,98 коэффициент детерминации

составит 0,982 = 0,9604. Следовательно, взаимозависимы примерно 96% вариант

обоих рядов.

Корреляция как метод статистического анализа в психологических

исследованиях применяется очень часто. Всем, кто работает с применением

корреляционного анализа, т.е. выясняет посредством этого метода тесноту

связи двух рядов, следует напомнить, что коэффициент, как бы высок он ни

был, нельзя интерпретировать как показатель наличия причинной связи между

коррелируемыми рядами. Если коэффициент и может быть как-то использован в

обсуждении вопроса о возможных причинных связях, то только в том случае,

когда содержательная логика исследования и выдвигаемые при этом

теоретические соображения позволяют опереться как на один из аргументов и

на значение коэффициента корреляции.

В изложении метода корреляции речь шла исключительно о линейных

корреляциях, которые изображены на схемах №1,2, 4. Но там же приведена

схема криволинейной корреляции (№ 5). Вообще говоря, вероятно, и в психике

человека протекают процессы, взаимосвязь которых не имеет линейного вида.

Вычисление нелинейных корреляций и, главное их истолкование не относятся к

простейшим статистическим методам, о которых говорится в этой главе. Но об

их существовании следует знать.

Наконец, полезно напомнить, что корреляции по Пирсону (с определенными

ограничениями и в определенных сочетаниях) создают ту базу, на которой

открываются возможности перехода к так называемому факторному анализу.

(Наиболее ясное изложение сути факторного анализа см.: Теплов Б.М.

Типологические особенности в н.д. человека. М., 1967. Т. 5. С. 239).

Метод определения меры различия между наблюдаемыми и предполагаемыми

(теоретическими) численностями — хи-квадрат.

Ранее были рассмотрены различные отношения между выборками: количественное

преобладание какого-то признака, представленного в одной из выборок,

теснота связи между выборками. Но есть еще одно важное отношение между

ними: количественная разница распределений, благодаря которой при

сопоставлении выборок открывается возможность прийти к содержательным

выводам. Это отношение обнаруживается при сопоставлении распределений

численностей. Допустим, что сравниваются две выборки, выпускников двух

школ. Часть выпускников каждой школы сдавали экзамены в вузы. Из первой

школы сдавали экзамены 100 человек, из них 82 успешно, не сдали 18. Таково

распределение численности в первой выборке. Из второй школы сдавали

экзамены в вузы 87 человек, выдержали 44 человека, не сдали — 43. Таково

распределение численностей во второй выборке. Достаточно ли этих данных,

чтобы утверждать, что подготовленность к вузовским экзаменам выпускников

этих школ неодинакова? На первый взгляд, разница налицо:

лучше подготовлены выпускники первой школы. Однако при таком раскладе

численностей возможно влияние случайности. Поэтому встает вопрос, можно ли,

считаясь с представленными распределениями, прийти к статистически

обоснованному выводу о мере подготовленности к экзаменам в вузы той и

другой выборки.

Метод, с помощью которого подвергаются статистическому анализу описанные

распределения численностей, получил название хи-квадрат, его обозначают

греческой буквой x2 с показателем степени. Он был разработан математиком

Пирсоном. Метод x2 весьма универсален, применим во многих исследованиях,

пригоден для статистического анализа распределения численностей

разнообразных количественных материалов, относящихся ко всем статистическим

шкалам, в том числе и к шкале наименований.

Техника вычисления хи-квадрата довольно проста. Рассмотрим пример со

сдачей экзаменов в вузы выпускниками первой и второй школ. В условии

сказано, что всего намерены были сдавать экзамены 187 человек: 100 учащихся

(53,5%) из первой школы и 87 (46,5%) из второй. Предположим, что выпускники

обеих школ подготовлены одинаково, тогда и доли сдавших и не сдавших будут

такие же, как доли их представленности в общем числе сдающих. Всего сдало

экзамены 126 выпускников (82 + 44). Согласно высказанному предположению,

53,5% от этого числа должны бы были прийтись на 1-ю школу — это составит

66,9 от 126 — и 46,5% на 2-ю школу, что составит 58,9 от 126. Такое же

рассуждение повторяем и относительно несдавших. Их всего 61 человек (18 +

43). На 1-ю школу, как нам известно, должно, по предположению, прийтись

53,5% от этого числа, т.е. 33,0 от 61, а на долю 2-й школы — 46,5%, т.е.

28,1 от 61. Нуль-гипотеза, имеющая в данном раскладе тот смысл, что между

выпускниками нет различия, при таком соотношении сдавших и несдавших

подтвердилась бы. Однако в условиях этого исследования показано другое

распределение. Количество выпускников 1-й школы, сдавших экзамены,

составляет 82, а не 66,9, как можно было бы предположить, исходя из нуль-

гипотезы. Соответственно количество выпускников 2-й школы, сдавших

экзамены, составляет в действительности всего 44, а не 58,9. Точно также,

сравнивая количество несдавших (по условию с предполагаемым распределением)

найдем по 1-й школе 18, а не 33, а по 2-й школе — 43, а не 28,1.

Расхождения между действительными распределениями и распределениями,

которые могли бы иметь место, если исходить из нуль-гипотез, налицо. Они-то

и учитываются при вычислении x2. Все сказанное удобно представить в виде

таблицы-графика распределения численностей (табл. 7). Количества, которые

были бы получены при принятии нуль-гипотезы, заключены в скобки. В правом

углу буквенное обозначение клетки.

Таблица 7

|Школа |Число сдавших |Число несдавших|Всего |Долевые |

| | | | |отношения, % |

|Первая |82 |18 |100 |53,5 |

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9