При практической обработке результатов измерений можно последовательно выполнить следующие операции:

    Записать результаты измерений;
    Вычислить среднее значение из n измерений
    а =
    Определить погрешности отдельных измерений Vi = а - аi;
    Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений Vi 2;

Если несколько измерений резко отличаются по своим значениям от остальных измерений, то следует проверить не являются ли они промахом. При исключении одного или нескольких измерений п. п. 1.... 4 повторить;

Определяется средняя квадратичная погрешность результата серии измерений

    Задается значение надежности a;

Определяется коэффициент Стьюдента ta (n) для выбранной надежности a и числа проведенных измерений n; Находятся границы доверительного интервала

    Dх = ta (n)ЧSa

Если величина погрешности результата измерений (п. 9) окажется сравнимой с величинойdпогрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину

    .
    Записать окончательный результат
    X = a ± Dx ;

Оценить относительную погрешность результата серии измерений

    e = .
    Обработка результатов измерений диаметра цилиндра

Микрометром было сделано десять замеров диаметра цилиндра. Цена деления микрометра 0, 01 мм. Определить диаметр цилиндра с надежностьюa = 0, 95 и a = 0, 99. Оценить влияние числа замеров на точность получаемого результата.

    аi: 14, 85; 14, 80; 14, 84; 14, 81; 14, 79;
    14, 81; 14, 80; 14, 85; 14, 84; 14, 80.

Для первых пяти измерений определим среднеарифметическое значение и границы доверительного интервала. Для удобства расчетов выберем произвольное число ао удобное для расчетов (ао = 14, 80 мм) и определим разности (аi - ао) и квадраты этих разностей. Результаты сведены в таблицу.

    i
    аi, мм
    аi - ао, мм
    (аi - ао)2, мм2
    1
    14, 85
    0, 05
    0, 0025
    2
    14, 80
    0, 00
    0, 0000
    3
    14, 84
    0, 04
    0, 0016
    4
    14, 81
    0, 01
    0, 0001
    5
    14, 79
    -0, 01
    0, 0001
    0, 09
    0, 0043

Найдем среднее значение а и среднеквадратичное отклонение Sа:

    а - ао = 0, 018 мм;
    ( мм2 );
    ( мм ).

Для надежности a = 0, 95 и n = 5 ta = 2, 78. Абсолютная погрешность измерения Dх:

    Dх = taЧ Sа = 2, 78 Ч 0, 0116 = 0, 0322 мм.
    Результат измерения можно представить в виде
    (14, 818 - 0, 032) мм Ј а Ј (14, 818 + 0, 032) мм
    или сохраняя в величине погрешности одну значащую цифру
    (14, 82 - 0, 03) мм Ј а Ј (14, 82 + 0, 03) мм,

т. е. 14, 79 мм Ј а Ј 14, 85 мм или а = (14, 82 ± 0, 03) мм.

    Относительная погрешность
    eа = .

Теперь найдем абсолютную и относительную погрешность этих измерений при a = 0, 99. В этом случае ta = 4, 60. Тогда

    Dх = taЧSa = 4, 60Ч1, 16Ч10-2 = 5, 34Ч10-2 ( мм ).
    Следовательно а = (14, 82 ± 0, 05) мм
    eа = .

Видно, что с увеличением надежности границы доверительного интервала возросли, а точность результата уменьшилась.

Проведем расчет погрешностей для этих же пяти измерений, незаконно полагая, чтоs2 = S2n(что при n = 5 ошибочно). Для этого используем распределение Гаусса (а не Стюарта). Приa = 0, 95 ka = .

    Это дает возможность определить
    Dх = kaЧSa = 1, 96Ч1, 16Ч10-2 » 2Ч10-2 ( мм ),

т. е. погрешность получилась меньше примерно на 30%. Если по этой величине погрешности определить величину надежности при ta = ka, то из таблицы коэффициентов Стьюдента получим a < 0, 90 вместо заданной a =0, 95. Следовательно при малом числе измерений n применение закона нормального распределения сs2 = S2nвместо распределения Стьюдента приводит к уменьшению надежности результата измерений.

Найдем средние значения и погрешности следующих пяти измерений

    i
    аi, мм
    аi - ао, мм
    (аi - ао)2, мм2
    1
    14, 81
    0, 01
    0, 0001
    2
    14, 80
    0, 00
    0
    3
    14, 85
    0, 05
    0, 0025
    4
    14, 84
    0, 04
    0, 0016
    5
    14, 80
    0, 00
    0
    0, 10
    0, 0042
    ао = 14, 80 мм;
    а = ао + ( мм );
    а - ао = 0, 02 мм;
    ( мм2 );
    Sa = 1, 05Ч10-2 мм.
    При a = 0, 95:
    Dх = taЧSa = ± 2, 78Ч1, 05Ч10-2 = 2, 92Ч10-2 ( мм );
    eа = ;
    Х = 14, 82 ± 0, 03 мм.
    При a = 0, 99:
    Dх = ± 4, 60Ч1, 05Ч10-2 » 5Ч10-2 ( мм );
    eа = ±
    Х = 14, 82 ± 0, 05 мм.

Результаты практически не отличаются, от результатов полученных из первой серии.

Найдем теперь погрешность результата всей серии из десяти измерений. В этом случае (мм); (мм2).

Эти величины получаются суммированием последних строк из таблиц частных серий.

    ао = 14, 80 мм;
    а = ао + ( мм );
    а - ао = 0, 019 мм.
    Sa2 =
    = ( мм2 );
    Sa = 7, 35Ч10-3 мм.
    При a = 0, 95 имеем
    Dх = taЧSa = ± 2, 26Ч7, 35Ч10-3 = ± 1, 7Ч10-2 ( мм );
    eа = ;
    а = 14, 819 ± 0, 017 мм.
    При a = 0, 99 получаем
    Dх = taЧSa = ± 3, 25Ч7, 35Ч10-2 = ± 2, 4Ч10-2 ( мм );
    eа = ;
    а = 14, 819 ± 0, 024 мм.

Видно, что абсолютная и относительная погрешность результата десяти измерений стали почти в два раза меньше погрешностей пяти измерений.

Применение нормального распределения с s2 = S2n дает в случае a = 0, 95 ka = 1, 96 и Dх = 1, 4 Ч 10-2 мм, а величина надежности понижается до 0, 91; в случае a = 0, 99 получаем ka = 2, 58 и Dх = 1, 9 Ч 10-2 мм, а величина надежности понижается до a = 0, 97. Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается.

    Контрольные вопросы
    Цель математической обработки результатов эксперимента;
    Виды измерений;
    Типы ошибок измерения;
    Свойства случайных ошибок;

Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является вероятнейшим значением?

Что такое истинная абсолютная и вероятнейшая ошибки отдельного измерения? Что такое доверительный интервал случайной величины?

    Что такое уровень значимости (надежности) серии измерений?
    Геометрический смысл уровня значимости;

Почему при малом числе опытов нельзя погрешность измерений представить в виде Dх = ± Ksа? Что является критерием “случайности” большого отклонения измеряемой величины? Чем определяется величина случайной ошибки косвенных измерений? Чем определяется точность числовой записи случайной величины?

    ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

При характеристике случайных величин недостаточно указать их возможные значения. Необходимо еще знать насколько часто возникают различные значения этой величины. Это характеризуется вероятностью p отдельных ее значений. Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения случайной величины. Различают интегральный и дифференциальный законы распределения.

    Виды случайных величин и законы их распределения

Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате опыта какое либо числовое или качественное значение.

Случайная величина, принимающая конечное число или последовательность различных значений, называется дискретной случайной величиной. Случайная величина, принимающая все значения из некоторого интервала, называется непрерывной случайной величиной.

Под интегральным законом распределения (или функцией распределения) F (х) случайной величины Х понимают вероятность p того, что случайная величина Х не превысит некоторого ее значения х

    F (х) = p (Х < х).

Основным свойством интегрального распределения является монотонное не убывание в ограниченном диапазоне[ 0; 1 ].

Действительно, если х1 и х2 некоторые значения случайной величины Х. Причем х2 > х1, то очевидно, что событие p (Х < х2) і p (Х < х1), т. к. между значениями х1 и х2могут быть и промежуточные. Из определения интегрального закона следует, что F (х2) і F (х1), что говорит о монотонном не убывании функции. Очевидно также, что

    F (- Ґ) = p (Х < - Ґ) = 0;
    Ю F (Ґ) - F (- Ґ) = 1,
    F (+ Ґ) = p (Х < Ґ) = 1;
    т. е. F (х) изменяется в диапазоне от 0 до 1.
    Для дискретной случайной величины
    F (x) = P (X < x) = P (-Ґ < X < x) = ,

где суммирование распространяется на хi х1, то очевидно, что

    p (Х < х2) = p (Х < х1) + p (х1 Ј Х < х2).
    Тогда

p (х1 Ј Х < х2) = p (Х < х2) - p (Х < х1) = F (х2) - F (х1),

т. е. вероятность попадания случайной величины в интервал [х1; х2) равен разности значений интегральной функции граничных точек. Последнее условие можно использовать для нахождения вероятности p (Х = х1) для непрерывной случайной величины. Для этого рассмотрим предел

    p (X = x1) = ,

т. е. если закон распределения случайной величины есть функция непрерывная, то вероятность того, что случайная величина примет заранее заданное значение, равна нулю.

Здесь видно различие между дискретными и непрерывными случайными величинами. Для дискретных случайных величин, для каждого значения случайной величины существует своя вероятность. И для него справедливо утверждение: событие, вероятность которого равна нулю, невозможно. Для непрерывной случайной величины это утверждение неверно. Как показано, вероятность того, что Х= х1 ( где х1- заранее выбранное число) равна нулю, это событие не является невозможным. Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, интегральный закон которой предполагается непрерывным и дифференцируемым. Функцию

    ¦ (х) = Fў (х)

называют дифференциальным законом распределения или плотностью вероятности случайной величины Х. Из определения производной можно записать ¦ (x) = Fў (x) = ,

т. е. плотность вероятности случайной величины Х в точке х равна пределу отношения вероятности попадания величины Х в интервал (х; х+ Dх) к Dх, когда Dх стремится к нулю.

Используя понятия интегральной функции распределения и определенного интеграла можно записать

    ¦ (x) = Fў (x) или F (x) = p (x1 < X < x2) = .

Это соотношение имеет простое геометрическое толкование (рис. 5). Если определяет заштрихованную область в соответствующих пределах, то p (х < Х < х + Dх) » ¦ (х) Dх.

    Из свойств интегрального распределения следует
    .

Зная дифференциальный закон распределения можно определить интегральный закон распределения

    F (x) = .

Числовые характеристики случайных величин, заданных своими распределениями

Основными характеристиками случайной величины, заданной своими распределениями, является математическое ожидание ( или среднее значение ) и дисперсия. Математическое ожидание случайной величины является центром ее распределения. Дисперсия характеризует отклонение случайной величины от ее среднего значения. Если Х дискретная случайная величина, значения хi которой принимают с вероятностью pi, так, что , то математическое ожидание М (Х) случайной величины Х определяется равенством M (X) = ,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7