Абстрактная теория групп - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Абстрактная теория групп
    I. Понятие абстрактной группы.
    1. Понятие алгебраической операции.

Говорят, что на множестве X определена алгебраическая операция (*), если каждой упорядоченной паре элементов поставлен в соответствие некоторый элемент называемый их произведением. Примеры.

Композиция перемещений на множествах является алгебраической операцией. Композиция подстановок является алгебраической операцией на множестве всех подстановок степени n. Алгебраическими операциями будут и обычные операции сложения, вычитания и умножения на множествахсоответственно целых, вещественных и комплексных чисел. Операция деления не будет алгебраической операцией на этих множествах, поскольку частное не определено при . Однако на множествах , это будет алгебраическая операция. Сложение векторов является алгебраической операцией на множестве . Векторное произведение будет алгебраической операцией на множестве . Умножение матриц будет алгебраической операцией на множестве всех квадратных матриц данного порядка.

    2. Свойства алгебраических операций.
    Операция (*) называется ассоциативной, если .

Это свойство выполняется во всех приведенных выше примерах, за исключением операций вычитания ( и деления) и операции векторного умножения векторов. Наличие свойства ассоциативности позволяет определить произведение любого конечного множества элементов. Например, если, . В частности можно определить степени с натуральным показателем: . При этом имеют место обычные законы: , . 2. Операция (*) называется коммутативной, если

В приведенных выше примерах операция коммутативна в примерах 3 и 4 и не коммутативна в остальных случаях. Отметим, что для коммутативной операции Элемент называется нейтральным для алгебраической операции (*) на множестве X, если . В примерах 1-6 нейтральными элементами будут соответственно тождественное перемещение, тождественная перестановка, числа 0 и 1 для сложения и умножения соответственно (для вычитания нейтральный элемент отсутствует ! ), нулевой вектор, единичная матрица. Для векторного произведения нейтральный элемент отсутствует. Отметим, что нейтральный элемент (если он существует) определен однозначно. В самом деле, если - нейтральные элементы, то . Наличие нейтрального элемента позволяет определить степень с нулевым показателем: .

Допустим, что для операции (*) на X существует нейтральный элемент. Элемент называется обратным для элемента , если . Отметим, что по определению . Все перемещения обратимы также как и все подстановки. Относительно операции сложения все числа обратимы, а относительно умножения обратимы все числа, кроме нуля. Обратимые матрицы - это в точности все матрицы с ненулевым определителем. Если элемент x обратим, то определены степени с отрицательным показателем: . Наконец, отметим, что если x и y обратимы, то элемент также обратим и . (Сначала мы одеваем рубашку, а потом куртку; раздеваемся же в обратном порядке! ).

    Определение (абстрактной) группы.

Пусть на множестве G определена алгебраическая операция (*). (G , *) называется группой, если

    Операция (*) ассоциативна на G.

Для этой операции существует нейтральный элемент e (единица группы). Каждый элемент из G обратим.

    Примеры групп.
    Любая группа преобразований.
    (Z, +), (R, +), (C, +).

Матричные группы: - невырожденные квадратные матрицы порядка n, ортогональные матрицы того же порядка, ортогональные матрицы с определителем 1.

    3. Простейшие свойства групп.

В любой группе выполняется закон сокращения: (левый закон сокращения; аналогично, имеет место и правый закон). Доказательство. Домножим равенство слева на и воспользуемся свойством ассоциативности: . Признак нейтрального элемента:

    Доказательство Применим к равенству закон сокращения.
    Признак обратного элемента:
    Доказательство: Применим закон сокращения к равенству .

Единственность обратного элемента. Обратный элемент определен однозначно. Следует из п. 3.

Существование обратной операции. Для любых двух элементов произвольной группы G уравнение имеет и притом единственное решение. Доказательство Непосредственно проверяется, что(левое частное элементов ) является решением указанного уравнения. Единственность вытекает из закона сокращения, примененного к равенству. Аналогично устанавливается существование и единственность правого частного.

    4. Изоморфизм групп.
    Определение.

Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом , если 1. Отображение jвзаимно однозначно. 2. Отображениеj сохраняет операцию: . Поскольку отображение обратное к jтакже является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.

    Примеры.

1. Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2. Группа диэдра и соответствующая пространственная группа изоморфны. Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1, 2, 3, 4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1, 2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34 ) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.

Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом. Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

    5. Понятие подгруппы.

Непустое подмножество называется подгруппой, если само является группой. Более подробно это означает, что , и . Признак подгруппы.

Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда, когда . Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь - любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим . Примеры подгрупп.

Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.

    - подгруппа четных подстановок.
    и т. д.

Пусть G - любая группа и - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g . Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называетсяцентром группы G и обозначается Z(G). Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+.... +g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.

6. Реализация абстрактной группы как группы преобразований. Существует несколько способов связать с данной абстрактной группой некоторую группу преобразований. В дальнейшем, если не оговорено противное, знак алгебраической операции в абстрактной группе будет опускаться. Пусть некоторая подгруппа.

А) Для каждого определим отображение (левый сдвиг на элемент h) формулой . Теорема 1

Множество L(H, G)= является группой преобразований множества G. Соответствие: является изоморфизмом групп H и L(H, G).

    Доказательство.

Надо проверить, что отображение взаимно однозначно для всякого . Если , то по закону сокращения. Значит инъективно. Если любой элемент, то и так что к тому же и сюръективно. Обозначим через · операцию композиции в группе Sym(G) взаимно однозначных отображений . Надо проверить, что и . Пусть любой элемент. Имеем: ; и значит, . Пусть . Надо проверить, что l взаимно однозначно и сохраняет операцию. По построению l сюръективно. Инъективность вытекает из закона правого сокращения: . Сохранение операции фактически уже было установлено выше: . Следствие.

Любая абстрактная группа изоморфна группе преобразований некоторого множества (Достаточно взять G=H и рассмотреть левые сдвиги).

    Для случая конечных групп получается теорема Кэли:

Любая группа из n элементов изоморфна подгруппе группы подстановок степени n. Для каждого определим отображение (правый сдвиг на элемент h) формулой . Теорема B.

    .
    Множество является группой преобразований множества G.
    Соответствие является изоморфизмом групп H и R(H, G).

Доказательство теоремы B вполне аналогично доказательству теоремы A. Отметим только, что . Именно поэтому в пункте 3 теоремы В появляется не , а . С) Для каждого определим (сопряжение или трансформация элементом h ) формулой . Теорема С.

Каждое отображение является изоморфизмом группы G с собой (автоморфизмом группы G). Множество является группой преобразований множества G.

    Отображение сюръективно и сохраняет операцию.
    Доказательство.

Поскольку , отображение взаимно однозначно как композиция двух отображений такого типа. Имеем: и потому сохраняет операцию. Надо проверить, что и . Оба равенства проверяются без труда. Сюръективность отображения имеет место по определению. Сохранение операции уже было проверено в пункте 2. Замечание об инъективности отображения q.

В общем случае отображение qне является инъективным. Например, если группа H коммутативна, все преобразования будут тождественными и группа тривиальна. Равенство означает, что или (1) В связи с этим удобно ввести следующее определение: множество называется централизатором подгруппы . Легко проверить, что централизатор является подгруппой H. Равенство (1) означает, что. Отсюда вытекает, что если централизатор подгруппы H в G тривиален, отображение q является изоморфизмом.

    Смежные классы; классы сопряженных элементов.

Пусть, как и выше, некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H, G) левых сдвигов на группе G. Орбита называется левым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам. Заметим, что стабилизатор St(g, L(H, G)) (как и St(g, R(H, G)) ) тривиален поскольку состоит из таких элементов, что hg=g. Поэтому, если группа H конечна, то все левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного.

Орбиты группы называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов . Это число равно, где Z(H, g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g. Пример.

Пусть - группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: =(1, 2, 3); =(1, 3, 2); =(2, 1, 3); =(2, 3, 1); =(3, 1, 2); =(3, 2, 1). Пусть . Легко проверить, что левые смежные классы суть: , , .

    Правые смежные классы:
    , , .
    Все эти классы состоят из 2 элементов.
    Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:
    , , , .
    В то же время,
    , , .
    Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядка G.

    Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: . Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, , откуда и вытекает теорема. Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы . Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если эти подгруппы, то их общая подгруппа и по теореме Лагранжа - общий делитель порядков H и K то есть 1.

    Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Пусть любая подгруппа и -любой элемент. Тогда также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения является изоморфизмом. Подгруппа называется сопряженной по отношению к подгруппе H. Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: . Равенство можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

    Примеры.

Страницы: 1, 2