Расчет затвердевания плоской отливки
Министерство образования Российской Федерации
Сибирский государственный индустриальный университет
Кафедра литейного производства
Расчет затвердевания плоской отливки
в массивной форме
Выполнили: ст. гр. МЛА-97
Злобина С. А.
Карпинский А. В.
Кирина Л. В.
Тимаревский А. В.
Токар А. Н.
Проверил: доцент, к.т.н.
Передернин Л.В.
Новокузнецк 2001
Содержание
Содержание 2
Задание 3
Постановка задачи 4
1. Графическое представление 4
2. Математическая формулировка задачи 5
Метод расчета 7
Схема апроксимации 8
Алгоритм расчета 11
Идентификаторы 13
Блок-схема 14
Программа 17
Сравнение с инженерными методами расчета 20
Результаты расчета 21
Задание
Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo=30 мм
Сплав: Латунь (10% Zn).
Форма: Песчано-глинистая объемная сырая (ПГФ).
Индексы: 1-Метв, 2- Меж, 4-форма.
а1=3,6(10-5 м2/с
а2=2,1(10-5 м2/с
(1=195 Вт/м(К
(2=101 Вт/м(К
(1=8600 кг/м3
(2=8000 кг/м3
L=221000 Дж/кг
b4=1300 Вт(с1/2/(м2(К)
Tф=293 К
Ts=1312,5 К
Tн=1345 К
N=100
et=0,01 c
eТ=0,01 oC
Постановка задачи
Графическое представление
Принимаем следующие условия:
Отливка в виде бесконечной плиты толщиной 2Lo затвердевает в объемной
массивной песчано-глинистой форме. Принимаем, что теплофизические
характеристики формы и металла постоянны и одинаковы по всему объему,
системы сосредоточенные, геометрическая ось совпадает тепловой и поэтому
можно рассматривать только половину отливки. Lo<<Lф - форма массивная, т.е.
форма за все время охлаждения не прогревается до конца, Тпов=Тнач; такая
форма называется бесконечной
Вектор плотности теплового потока (удельный тепловой поток) имеет
направление перпендикулярное к поверхности раздела отливка-форма в любой
момент времени tk;
Нестационарное температурное поле – одномерное, Тj(х, tk), j=1,2,4;
Температура затвердевания принимается постоянной, равной Ts;
Теплофизические характеристики сред, aj=(j/cj(j, j=1,2,4;
Теплоаккумулирующую способность формы примем постоянной,
bф=[pic]=const;
C,(,( - теплофизические характеристики формы;
Переохлаждение не учитываем;
Удельная теплота кристаллизации L(Дж/кг) выделяется только на фронте
затвердевания (nf) - условие Стефана;
Не учитывается диффузия химических элементов – квазиравновесное
условие;
Перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции учитывается
введением коэффициента эффективной электропроводности:
для жидкой среды (2=n*(0, где (0 – теплопроводность неподвижного
жидкого металла; n=10;
Не учитывается усадка металла при переходе из жидкого состояния в
твердое;
Передача тепла в жидком и твердом металле происходит за счет
теплопроводности и описывается законом Фурье:
q = - (jgradT, плотность теплового потока,[pic]Дж/(м2с);
Отливка и форма имеют плотный контакт в период всего процесса
затвердевания (что реально для ПГФ);
теплоотдача на границе отливка – форма подчиняется закону Ньютона(-
Рихтмона): q1(tk)=((T1к - Tф) – для каждого момента времени tк, где ( -
коэффициент теплоотдачи, для установившегося режима (автомодельного)
(=[pic];
Полученная таким образом содержательная модель и ее графическая
интерпретация затвердевания плоской отливки в объемной массивной форме,
упрощает формулировку математической модели и достаточно хорошо отражает
затвердевание на тепловом уровне, т.е. позволяет получить закон T=f(x;t).
Математическая формулировка задачи
Математическая модель формулируется в виде краевой задачи, которая
включает следующие положения:
а) Математическое выражение уравнения распределения теплоты в
изучаемых средах.
Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, которое имеет смысл
связи, между временным изменением температуры и ее пространственным
распределением:
[pic]
Или в соответствии с условием 5 запишем:
[pic] ; x([0,lo], j=[pic] (1)
б) Условия однозначности:
1. Теплофизические характеристики сред
(j, (j, cj, bj, aj, TL, TS
2. Начальные условия
2.1 Считаем, что заливка происходит мгновенно и мгновенно же
образуется тончайшая корка твердого металла.
T1н(x, tн)= TS(E) (2)
2.2 Положение фронта затвердевания
t=tнзадан. ,x=0, y(tн)=0 (3)
2.3 Температура металла в отливке
Tj,iн=Tн ; j=2, i((2,n) (4)
2.4 Температура на внешней поверхности формы (контакт форма -
атмосфера) и температура формы.
T4н=Tф (5)
3. Граничные условия
3.1 Условия сопряжения на фронте затвердевания (условия Стефана) i=nf
[pic] (6)
3.2 Температура на фронте затвердевания
[pic] [pic] (7)
3.3 Условие теплоотдачи на границе отливка-форма
[pic] [pic] (8)
- граничное условие третьего рода
3.4 Условие на оси симметрии
[pic] (9)
Задача, сформулированная в выражениях (1-9) есть краевая задача,
которая решается численным методом.
Аппроксимировав на сетке методом конечных разностей (МКР), получим
дискретное сеточное решение.
Ti=f(xi;tk).
Метод расчета
Будем использовать МКР – метод конечных разностей.
Сформулированную краевую задачу дискретизируем на сетке.
[pic] [pic]
[pic]=[pic] - шаг по пространству постоянный;[pic] - шаг по времени
переменный
Для аппроксимации задачи на выбранной сетке можно использовать разные
методы – шаблоны. Наиболее известные из них для данного типа задач четырех
точечный конечно разностный шаблон явный и неявный.
Явный четырех точечный шаблон Неявный четырех точечный шаблон
Использование явного шаблона для каждого временного шага получаем n+1
уравнение с n неизвестными и система решается методом Гауса, но сходимость
решения только при очень малых шагах.
Использование неявного шаблона обеспечивает абсолютную сходимость, но
каждое из уравнений имеет 3 неизвестных, обычным методом их решить
невозможно.
По явному:
[pic] (10)
По неявному:
[pic] (11)
Сходимость обеспечивается при:
[pic]при явном шаблоне (12)
[pic]-точность аппроксимации
[pic] (13)
Схема апроксимации
Аппроксимируем задачу 1-9 на четырех точечном неявном шаблоне
Начальные условия:
[pic] (14)
[pic] (15)
[pic] [pic] (16)
[pic] [pic] (17)
[pic] (18)
Граничные условия:
[pic] (19)
[pic] (20)
[pic] (21 a)
[pic] => [pic] (21)
Условие идеального контакта на границе отливка форма
[pic] (22)
Расчет временного шага [pic]:
Величина [pic]-var рассчитывается из условия, что за промежуток
времени [pic] фронт перейдет из точки nf в точку nf+1
Расчет ведут итерационными (пошаговыми) методами
Строим процедуру расчета следующим образом:
Вычисляем нулевое приближенное [pic]для каждого шага,
За шаг итерации примем S,
Нулевое приближение S=0.
[pic] (23)
Уточняем шаг: S+1
[pic] (24)
d – параметр итерации от 0 до 1
для расчета возьмем d=0.
Число S итераций определяется заданной точностью:
Временного шага[pic] (25)
И по температуре[pic] (26)
et и eT – заданные точности по времени и температуре
et=0,01c, eT=0,1(C
(tI=0,01c – время за которое образовалась корочка.
Описанный итерационный процесс называют ''Ловлей фазового фронта в
узел''.
Можно задать (х, (tK=const, тогда неизвестно будет положение фронта,
при помощи линейной интерполяции.
Расчет температурных полей:
Метод «прогонки»:
Считается наиболее эффективным для неявно заданных конечно-разностных
задач.
Суть метода:
Запишем в общем виде неявно заданное конечноразностное уравнение
второго порядка (14) в общем виде:
AiTi-1 – BiTi + CiTi+1 + Di = 0 ; i = 2, 3, 4, …n-1
(27)
действительно для всех j и k.
и краевые условия для него:
T1 = p2T2 + q2 (28 а)
Tn = pnTm-1 + qn (28 б)
Ti = f(Ai; Xi; tk) - сеточное решение.
Ai, Bi, Ci, Di – известные коэффициенты, определенные их условий
однозначности и дискретизации задачи.
Решение уравнения (27) – ищем в том же виде, в котором задано краевое
условие (28 а)
Ti = аi+1Ti+1 + bi+1 ; i = 2, 3, 4, …n-1
(29)
Ai+1, bi+1 – пока не определенные «прогоночные» коэффициенты (или
коэффициенты разностной факторизации)
Запишем уравнение (29) с шагом назад:
Ti-1 = аiTi + bi (30)
Подставим уравнение (30) в уравнение (27):
Ai(aiTi + bi) – BiTi + CiTi+1 + Di = 0
Решение нужно получить в виде (29):
[pic] (31)
Найдем метод расчета прогоночных коэффициентов.
Сравним уравнение (29) и (31):
[pic] (32)
[pic] (33)
(32),(33)– рекуррентные прогоночные отношения позволяющие вычислить
прогоночные коэффициенты точке (i+1) если известны их значения в точке i.
Процедура определения коэффициентов аi+1 и bi+1 называется прямой
прогонкой или прогонкой вперед.
Зная коэффициенты конечных точек и температуру в конечной точке Тi+1
можно вычислить все Тi.
Процедура расчета температур называется обратной прогонкой. То есть,
чтобы вычислить все Т поля для любого tk нужно вычислить процедуры прямой и
обратной прогонки.
Чтобы определить начальные а2и b2, сравним уравнение (29) и уравнение
(28 а):
a2 = p2; b2 = q2
Запишем уравнение 29 с шагом назад:
Tn = pnTn-1 + qn
Tn-1 = qnTn + bn
[pic] (34)
Новая задача определить pn , qn
Вывод расчетных формул:
Преобразуем конечноразностное уравнение (14) в виде (27)
[pic], j=1,2 (35)
относиться к моменту времени k
Из (35) => Ai=Ci=[pic] Bi=2Ai+[pic] Di=[pic] (36)
Определим значения коэффициентов для граничных условий:
Страницы: 1, 2, 3
|
