|0 |0 |0 |0 |(0, 0, 0) |

|1 |0,28 |0,15 |0,28 |(1, 0, 0) |

|2 |0,53 |0,25 |0,53 |(1, 1, 0) |

|3 |0,70 |0,40 |0,70 |(2, 1, 0) |

|4 |0,90 |0,50 |0,90 |(3, 1, 0) |

|5 |1,06 |0,62 |1,06 |(3, 2, 0) |

|6 |1,20 |0,73 |1,21 |(3, 2, 1) |

|7 |1,33 |0,82 |1,35 |(3, 3, 1) |

|8 |1,45 |0,90 |1,48 |(4, 3, 1) |

|9 |1,57 |0,96 |1,60 |(5, 3, 1) або (3,|

| | | | |3, 3) |

Таблиця 4:

Розподіл дев’яти одиниць капіталу поміж трьома точками.

|Капітал |x1+x2 |x3 |F123 |

| | | | |

| 9 |9 |0 |1,57 |

| |8 |1 |1,45+0,15=1,6 |

| |7 |2 |(5, 3, 1) |

| |6 |3 |1,33+0,25=1,58 |

| |5 |4 |1,2+0,4=1,6 |

| |4 |5 |(3, 3, 3) |

| |3 |6 |1,06+0,5=1,56 |

| |2 |7 |0,9=0,62=1,52 |

| |1 |8 |0,70+0,73=1,43 |

| |0 |9 |0,53+0,82=1,35 |

| | | |0,28+0,90=1,18 |

| | | |0,96 |

Важливо те, що отримані результати були д тими ж, якби ми користувались

не F12 і F123, а, скажімо, F31 i F312. Зверніть увагу на те, що оптимальне

рішення для А=9 – не єдине!

Динамічне програмування потужний та важливий метод вирішення певного

класу оптимізаційних задач, оскільни він дозволяє різко скоротити обсяг

переборів варіантів і обсяг обчислень [8, с.35].

Для того, щоб надати для розгляду якомога більше математичних моделей

(звичайно не всі, інакше потрібно було б писати книгу), надалі я

слідуватиму прикладу американських класиків Мескона М., Альберта М. та

Хедоурі Ф. і буду приділяти більше уваги короткому описанню тієї чи іншої

моделі, ніж вдаватися у математичні подробиці.

Приведемо приклад наступної математичної моделі – моделі управління

запасами. Модель управління запасами використовується для визначення часу

розміщення замовлень на ресурси та їх кількості, а також маси готової

продукції. Будь-яка організація повинна підтримувати деякий рівень запасів

для запобігання затримок на виробництві і в збуті [5, с. 231]. Ціль даної

моделі – зведення до мінімуму негативних наслідків накопичення запасів, що

виражається в певних витратах. Всупереч відомій приказці (“Запас кишеню не

тягне”), підприємцю потрібно піклуватися про те, щоб витрати на зберігання

продукції були в розумних межах.

Існують різні види запасів. Буферний запас, що створюється між

постачальником та виробником, потрібен для компенсації затримок в

поставках, для послаблення залежності споживача від постачальника, для

виробництва продукції партіями оптимального розміру. Запас готової

продукції потрібен для виробництва продукції партіями оптимального розміру,

для задоволення очікуваного попиту, для компенсації відхилення фактичного

попиту, від того, що прогнозується (гарантійний запас). Можливі різні

постановки задачі управління запасами. Наприклад: визначити обсяг

замовлень, вважаючи моменти виробництва замовлень фіксованими, або

визначити і обсяг замовлень і моменти замовлень. Під оптимальним як правило

розуміється рішення, що мінімізує суму всіх затрат, пов’язаних із

створенням запасів. Затрати бувають трьох типів: затрати на оформлення і

отримання замовлення, вартість зберігання продукції і штрафи при виснаженні

запасів за недопоставлену продукцію. Приходиться також враховувати

характеристики попиту (відомий – невідомий, постійний – залежить від часу,

виникає в певні моменти – існує весь час) і замовлень (виконуються одразу ж

– через деякий час, приймаються в будь-який час – в певні моменти,

замовлене надходить рівномірно – нерівномірно і т.ін.)[8, с.44].

Досить часто менеджеру доводиться вирішувати проблеми, які носять

масовий характер. Наприклад це може стосуватися обслуговування клієнтури,

яка надходить чергою або врахування затрат часу при простої на митниці і

т.ін. Деколи доводиться розробити автоматизоване устаткування, до якого в

порядку черги будуть надходити об’єкти для обслуговування. Мескон М.

наводить приклади масового характеру при прийомі дзінків в авіакомпанію для

резервування квитків та інші. Всі ці проблеми можуть вирішуватися по-

різному, але якщо брати до уваги теоретичний підхід з наукової точки зору,

то в даному випадку для вирішення цих питань застосовують моделі теорії

черг або оптимального обслуговування. “Принципова проблема полягає в

урівноваженні затрат на додаткові канали обслуговування та втрат від

обслуговування на рівні нижчому за оптимальний” – стверджує Мескон. Моделі

черг надають керівництву інструментарій для визначення оптимальної

кількості каналів обслуговування, котрі необхідно мати, щоб збалансувати

витрати у випадках надто малої і надто великої їх кількості.

Серед інших моделей, які не обійшла “королева наук” – математика,

величезне практичне значення має теорія ігор. Про сферу застосування даної

моделі (як і про інші моделі) буде сказано в наступному розділі. Отже слід

розкрити, що таке гра і які загальні принципи її проведення. На змістовному

рівні під грою можна розуміти взаємодію декількох осіб (гравців), які мають

кінцевий стан (виграш), якого добивається кожен гравець, але не кожен може

добитися. Прикладом гри може слугувати боротьба декількох фірм за державне

замовлення. В залежності від кількості гравців в грі може існувати якась

скінченна кількість ходів кожного гравця. Послідовність ходів гравців, яка

називається партією, призводить гру до кінцевого стану. Якщо гра

складається лише з двох гравців, то схему такої гри подають у вигляді

таблиці – платіжної матриці (назва говорить сама за себе – платіж, що

сплачується 1-им гравцем 2-му, якщо 2-й виграє). Нерідкі випадки, коли по

завершенню гри жоден з гравців не отримує ані виграшу, ані програє. Такий

випадок носить назву гри двох осіб з нульовою сумою. Важливим поняттям

теорії ігор є поняття стратегії – встановлений гравцем метод вибору ходів

протягом гри.

Розглянемо приклад вирішення задачі теорії ігор.

( Приклад. “Я думаю про те, якби змінити розташування мого автомобільного

салону по причині близького розташування конкурента. Якщо я зміню

розташування і він теж змінить, то я ризикую втратити пів-мільйона доларів

від чистого продажу. Якщо я перерозташуюсь, а він ні, я зароблю на цьому

мільйон від чистого продажу. Якщо я залишусь там де є, а він переїде, я

зароблю півтора мільйони, але якщо я залишусь і він теж, то я втрачаю

мільйон. Якби ж я міг правити світом, я б залишився там де є, а його

примусив би переїхати, бо в такому разі мене чекає найбільший прибуток.

Однак я не можу ні примусити його, ні передбачити що там буде. Якщо ж я

просто хочу мінімізувати втрати, я зміню своє розташування. Матриця рішень

проілюструє мою ділему і можливе вирішення проблеми:

Таблиця 5:

Матриця рішень.

|Дія конкурента |Моя дія |

| |Змінити |Не змінювати |

| |розташування |розташування |

|Змінити |-$500,000 |+$1,500,000 |

|розташування | | |

|Не змінювати |+$1,000,000 |-$1,000,000 |

|розташування | | |

З мого боку, мені потрібна якась очікувана винагорода, яка залишиться

сталою незалежно від рішення мого конкуренту. Таким чином, я введу поняття

ймовірності (Р) залежної від дій. Якщо мій конкурент вирішить змінити

місцерозташування, моя очікуваня винагорода становитиме

-$500,000*Р+$1,500,000*(1-P). Якщо він вирішить залишитись там де він є,

моя винагорода дорівнюватиме $1,000,000*P-$1,000,000*(1-P). Оскільки я

хочу, щоб винагорода була однаковою в кожному випадку, маємо рівняння:

-$500,000*P + $1,500,000*(1-P) = $1,000,000*P - $1,000,000*(1-P)

або

P = .6250 і (1-P) = .3750

Таким чином, якщо мій конкурент переїде, моя очікувана винагорода (виграш)

дорівнює -$500,000 x .6250 + $1,500,000 x .3750 = $250,000.

Якщо він залишається, я матиму: $1,000,000 x .6250 - $1,000,000 x .3750 =

$250,000. Незалежно від дій мого конкурента, я отримаю $250,000 – набагато

менше, ніж можливий виграш, але набагато більше, ніж можливі втрати”[10,

пер. з англ. Н.Д.].

Я перелічив здається не дуже і багато різновидів моделей прийняття

рішень. Але дуже багато з них, як свідчать літературні джерела,

малопристосовні до практики управління, а більше функціонують в сферах

економічного аналізу, політики, маркетингу (такі моделі як моделі торгів,

моделі правила більшості, модель розподілу портфельних інвестицій тошо).

Моєю ж метою було і є насамперед розкрити сутність тих моделей, які

стосуються прийняття та обгрунтування управлінських рішень і нерідко

знаходять практичне застосування в менеджменті.

Перед тим, як перейти до викладення наступного питання, я розгляну ще

одну досить популярну математичну модель з теорії та практики прийняття

рішень. Якщо пригадати другу схему (див. рис.2), то за вказаною там

класифікацією всі вищеперелічені моделі використовувалися при застосуванні

кількісних методів обгрунтування управлінських рішень. Як бачимо зі схеми,

серед якісних методів існує лише один – експертний метод, який базується на

використанні математичних моделей. Передусім слід визначити термін

“експерт”. Експерт – це людина, яку ОПР або аналітична група, що проводить

експертизу, вважає професіоналом достатньо високого рівня в деякому

питанні, чиї оціннки і судження з приводу об’єкту експертизи враховуються

при прийнятті рішень. Під експертизою розуміють проведення групою

компетентних спеціалістів виміру деяких характеристик для підготовки

прийняття рішення [8, с.134]. Експертиза пов’язана з деяким оцінюванням

об’єктів. Оцінки бувають різних видів. Насамперед, це кількісні оцінки

(наприклад ціна товару), далі можна виділити бальні оцінки (їх вже слід

віднести до якісних), також дуже розповсюджений вид оцінки – ранжування.

Під ранжуванням розуміють впорядкування об’єктів згідно з убуванням їх

переваг. Прикладом ранжування може бути визнначення призерів деякого

конкурсу. Інший метод експертного оцінювання – метод попарного порівняння –

вказання переважаючого об’єкта в кожній парі об’єктів, що оцінюються.

Для отримання і обробки кількісними методами якісної експертної

інформації можуть використовуватись вербально-числові шкали, в склад котрих

входять змістовно описувані найменування її градацій і відповідні їм

числові значення або діапазони числових значень. Широке розповсюдження

отримала вербально-чилова шкала Харрінгтона (див. табл. 6).

Таблиця 6:

Шкала інтенсивності критеріальної властивості.

|Найменування градації |Числові інтервали |

|Дуже висока |1,0-0,8 |

|Висока |0,8-0,63 |

|Середня |0,63-0,37 |

|Низька |0,37-0,2 |

|Дуже низька |0,2-0,0 |

Звичайно, приведене описання експертних оцінок не являється вичерпним.

Вище перелічені лише деякі основні типи оцінок, але також неповний перелік

дає достатнє уявлення про різномаїття можливостей оцінювання при проведенні

експертизи.

3. Застосування математичних моделей і методів в практиці управління.

Чи легко собі уявити сучасного українського підприємця, що сидить в своєму

офісі та креслить на папері симплекс-таблицю? Звичайно, що ні. Але в

розвинених західних країнах не лише на фірмах створюються економетричні,

аналітичні відділи, але й цілі науково-дослідні інститути працюють над

розробками математичних моделей, які потім упішно використовуються в

економіці, менеджменті, фінансовій та банківській сферах тощо. Чому ж нашій

країні таке низьке місце приділяється даній методології? Справа в тому, що

поняття «менеджмент» та «менеджер» для наших підприємців мають зовсім не

той відтінок, який їм слід би мати. Після розпаду СРСР все більш менш

активне людство почало оволодівати підприємницьким сектором економіки.

З’явилося багато до цього часу невідомих термінів: бартер, біржа, холдінг,

дивіденд, менеджер, брокер і ще дуже багато інших. В старій системі освіти

цими термінами не оперували, а американська наука менеджмент взагалі була

чужою. Як правило в більшості випадків підприємницький сектор окупували ті

люди, які дуже віддалені від економічних та управлінських знань. Тому про

раціональні технології прийняття управлінських рішень говорити не має

сенсу. Це прийде і в нашу країну. Але не через рік і не через два, а з лише

з тим поколінням менеджерів, яке оволодіває цими знаннями вже тепер на

високому рівні. Не дарма часто чуємо і абсурдні вислови, коли наприклад

касир називається менеджером по продажу і т.ін.

Давайте розглянемо застосування вищеперелічених моделей, нехтуючи

сучасними умовами. Отже, почнемо спочатку. Ми починали розгляд моделей з

моделі лінійного програмування. Різновидом цієї моделі є транспортна

задача, яка на мою думку представляє найбільший інтерес в сучасному малому

бізнесі. Підприємець, нехтуючи побічними факторами, може легко побудувати

дану модель і тим самим збільшити приботок та мінімізувати витрати палива

та робочого часу на перевезення. Що стосується динамічного програмування,

то вище мною вже розглядався досить життєвий приклад про розподіл

капіталовкладень.

Досить складну побудову має модель управління запасами, яка повинна

застосовуватися для вирішення проблемних ситуації на підприємствах

практично всіх галузей. Наведемо приклад:

Нехай q-обсяг замовлення, q0-оптимальний обсяг замовлення, Si-рівень

запасів до початку і-го інтервалу, tS-інтервал часу між двома замовленнями,

S0-оптимальний рівень запасів до початку деякого інтервалу, tS0-оптимальний

інтервал часу між замовленнями, T – період часу, для якого шукається

оптимальна стратегія, R – повний попит за час Т, С1 – вартість зберігання

одиниці продукції за одиицю часу, С2 – штраф за нестачу одиниці продукції,

СS – вартість замовлення, вартість запуску партії у виробництво, Q –

очікувані сімарні затрати.

Нехай фірма повинна постачати своїи клієнтам R виробів рівномірно

протягом інтервалу Т. Нестача не допускається, тобто штраф С2 нескінченно

великий. Змінні затрати складаються з затрат на зберігання готового

продукту і затрат на запуск у виробництво чергової партії виробів.

Зрозуміло, що число потрібних партій R/q, tS=(Tq/R)/ Якщо на початку

інтервалу на складі q виробів, в кінці – нуль, відвантаження йде

рівномірно, то середній запас q/2, затрати на зберігання: 0,5C1qtS,

загальна вартість створення запасів в інтервалі ts буде 0,5C1qtS+CS, а за Т

повна вартість Q=(0,5C1qtS+CS)R/q=(0,5C1qTq/R+CS)R/q=0,5C1Tq+CSR/q.

Розв’язок цієї задачі нескладно отримати з рівняння dq/dQ=0.

[8, с.45].

Особисто мені дуже сподобався приклад з теорії ігор з використанням матриці

рішень. Таких прикладів може бути безліч, але не всі вони завжди мають

оптимальний роз’вязок. Якщо ми пригадаємо приклад з автомобільним салоном,

то там гравець поводив себе дуже обережно, обираючи стратегію найменшого,

але 100%-во гарантованого прибутку. На практиці ж найчастіше підприємець

або ОПР грає на власний ризик з метою отримати максимум і втратити мінімум.

При чому побудувати ігрову матричну модель дуже важко, бо не завжди ясно,

чи враховано всі стратегії твого конкурента чи ні. Дуже багато життєвих

прикладів розглядається американськими авторами в підручниках “Основи

менеджменту” та “Методи прийняття рішень” [5 і 9], з яких стає зрозуміло,

що в багатьох західних компаніях працюють цілі відділи, очолювані

професійними економетристами, які розробляють цілі проекти математичного

моделювання в організаціях. Недарма в цих організаціях щорічно зростають

показники ефективноств їх діяльності. Науково-дослідні інститути закордоном

працюють над новими моделями, які раніше чи пізніше пристосуються до

практики управління.

Щоб якимось чином впорядкувати та зробити більш наочним питання про

сфери застосування тих чи інших моделей і методів наведемо таблицю (див.

табл.7).

Таблиця 7:

Сфери застосування моделей і методів обгруниування управлінських

рішень.

|Сфера |Види математичних моделей і методів |

|застосування |обгрунтування управлінських рішень, що |

| |застосовуються |

|Управління |Аналогові моделі. Організаційні схеми. |

|персоналом | |

|Управління |Моделі управління запасами. Аналітичні |

|постачанням та|методи. |

|збутом | |

|Організаційні |Математичні моделі. |

|рішення | |

|Обслуговування|Моделі теорії черг (Моделі оптимального |

|великої |обслуговування) |

|кількості | |

|клієнтури | |

|Перевезення |Моделі лінійного програмування. Транспортна |

|продукції та |задача. |

|управління | |

|матеріальними | |

|ресурсами в | |

|умовах | |

|дефіциту | |

|Маркетингові |Математично-статистичні методи |

|дослідження. | |

|Визначення |Метод платіжної матриці |

|оптимальної | |

Страницы: 1, 2, 3, 4