Балансовая модель

БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Изучение балансовых моделей, представляющих собой одно из важнейших

направлений и экономико-математических исследований, должно служить

объектом изучения отдельной дисциплины. Наша цель – проиллюстрировать на

примере балансовых расчетов применение основных понятий линейной алгебры.

ЛИНЕЙНАЯ БАЛАНСОВАЯ МОДЕЛЬ

Пусть рассматривается экономическая система, состоящая из n

взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично

идет на внешнее потребление ( конечный продукт ), а частично используется в

качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других

отраслях, в том числе и в данной. Эту часть продукции называют

производственным потреблением. Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей

выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как

ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ).

Обозначим через xi валовый выпуск продукции i-й отрасли за

планируемый период и через yi – конечный продукт, идущий на внешнее для

рассматриваемой системы потребление ( средства производства других

экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ).

Таким образом, разность xi - yi составляет часть продукции i-й

отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в

дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в

стоимостном разрезе.

Обозначим через xik часть продукции i-й отрасли, которая

потребляется k-й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере

хk.

Таблица 1

№ потребление

итого на конечный валовый

отрас.

внутре продукт выпуск

производ. ( уi ) ( хi )

№ 1 2 … k … n

потребление

отрас.

( е хik )

1 х11 х12 … х1k … х1n

е х1k у1 х1

2 х21 х22 … х2k … х2n

е х2k у2 х2

( ( ( ( ( ( (

( ( (

i хi1 xi2 ( xik (

xin е xik yi xi

( ( ( ( ( ( (

( ( (

n xn1 xn2 ( xnk ( xnn

е xnk yn xn

итого

произв.

затраты е хi1 е xi2 ( е xik ( е xin

в k-ю

отрасль

Очевидно, величины, расположенные в строках таблицы 1 связаны

следующими балансовыми равенствами :

х1 - ( х11 + х12 + ( + х1n ) = у1

х2 - ( х21 + х22 + … + х2n ) = у2 ( 1 )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xn - ( xn1 + xn2 + … + xnn ) = yn

Одна из задач балансовых исследований заключается в том, чтобы на

базе данных об исполнение баланса за предшествующий период определить

исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать штрихом ( х’ik , y’i и т.д. ) данные, относящиеся к

истекшему периоду, а теми же буквами, но без штриха – аналогичные данные,

связанные с планируемым периодом. Балансовые равенства ( 1 ) должны

выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде.

Будем называть совокупность значений y1 , y2 , … , yn ,

характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором :

_

у = ( у1 , у2 , … , yn ) , ( 2 )

а совокупность значений x1 , x2 , … , xn ,определяющих валовый выпуск всех

отраслей ( вектор-планом :

_

x = ( x1 , x2 , … , xn ). ( 3 )

Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми

равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному,

например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к.

кроме искомых неизвестных хk , содержат n2 неизвестных xik , которые в свою

очередь зависят от xk.

Поэтому преобразуем эти равенства. Рассчитаем величины aik из

соотношений :

xik

aik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ).

xk

Величины aik называются коэффициентами прямых затрат или

технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций i-й

отрасли, используемые k-й отраслью на изготовление ее продукции, и зависят

главным образом от технологии производства в этой k-й отрасли. С некоторым

приближением можно полагать, что коэффициенты aik постоянны в некотором

промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период,

т.е., что

x’ik xik

––– = ––– = aik = const ( 4 )

x’k xk

Исходя из этого предложения имеем

xik = aikxk , ( 5 )

т.е. затраты i-й отрасли в k-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску,

или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска xk. Поэтому

равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат aik по формуле ( 4 ), используя

данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их

другим образом, получим матрицу

a11 a12 … a1k … a1n

a21 a22 … a2k … a2n

A= ………………….

ai1 ai2 … aik … ain

an1 an2 … ank … ann

которую называют матрицей затрат. Заметим, что все элементы aik этой

матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного

неравенства А>0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между

производством и потреблением, характеризуемые табл.1

Подставляя значения xik = aik = xk во все уравнения системы ( 1 ),

получим линейную балансовую модель :

x1 - ( a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ) = y1

x2 - ( a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ) = y2 ( 6 )

……………………………………

xn - ( an1x1 + an2x2 + … + annxn ) = yn ,

характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1

Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если

использовать матричную форму записи уравнений:

_ _ _

Е(х - А(х = У , или окончательно

_ _

( Е - А )(х = У , ( 6( )

где Е – единичная матрица n-го порядка и

1-a11 -a12 … -a1n

E - A= -a21 1-a22 … -a2n

…………………

-an1 -an2 … 1-ann

Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( xi и yi ). Поэтому,

задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n

- переменных.

Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y1 , y2 , …

, yn ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х1 ,

х2 , … хn ).

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной

системы, состоящей из двух производственных отраслей:

табл.2

№ отрас Потребление Итого

Конечный Валовый

№

затрат продукт выпуск

отрас 1 2

0.2 0.4

1 100 160

260 240 500

0.55 0.1

2 275 40

315 85 400

Итого затрат

575

в k-ю 375 200

отрасль … 575

Пусть исполнение баланса за предшествующий период характеризуется

данными, помещенными в табл.2

Рассчитываем по данным этой таблицы коэффициенты прямых затрат:

100 160 275

40

а11 = –––– = 0.2 ; а12 = –––– = 0.4 ; а21 = –––– = 0.55 ; а22 = ––––

= 0.1

500 400 500

400

Эти коэффициенты записаны в табл.2 в углах соответствующих клеток.

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая

данным табл.2

х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1

х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2

Эта система двух уравнений может быть использована для определения х1

и х2 при заданных значениях у1 и у2, для использования влияния на валовый

выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д.

Так, например, задавшись у1=240 и у2=85, получим х1=500 и х2=400,

задавшись у1=480 и у2=170, получим х1=1000 и х2=800 и т.д.

РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ.

Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ).

Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о

существование при заданном векторе У>0 неотрицательного решения х>0, т.е. о

существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного

продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6( ) допустимым

решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать

существование неотрицательного решения нельзя.

Так, например, если

0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6( )

А= , то Е - А =

0.6 0.9 -0.6 0.1

запишется в виде 0.1 -0.8 х1 у1 или в развернутой форме

-0.6 0.1 х2 у2

0.1х1 - 0.8х2 = у1 ( ( )

-0.6х1 + 0.1х2 = у2

Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение

-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,

которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х1 и х2, если

только у1>0 и у2>0 ( кроме х1=х2=0 при у1=у2=0 ).

Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) –

несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) –

неопределенная ).

Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на

поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х>0,

удовлетворяющий неравенству ( Е - А )(х>0, т.е. если уравнение ( 6( ) имеет

неотрицательное решение x>0, хотя бы для одного У>0, то оно имеет для

любого У>0 единственное неотрицательное решение.

При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет

обязательно неотрицательной.

Из способа образования матрицы затрат следует, что для

предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А )(х( = У(, где вектор-

план х( и ассортиментный вектор У( определяются по исполненному балансу за

прошлый период, при этом У(>0. Таким образом, уравнение ( 6( ) имеет одно

неотрицательное решение x>0. На основании теоремы заключаем, что уравнение

( 6( ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную

матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е - А )-1 через S = || sik+ ||, запишем

решение уравнения ( 6(( ) в виде

_ _

х = S(У ( 7 )

Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S =

Страницы: 1, 2