выражения для используемого преобразования Фурье, позволяющие при
построении численных алгоритмов использовать метод, изложенный в предыдущем
параграфе. Устанавливаются также некоторые соотношения между результатами
Пусть заданы функция f(x) = f(x1, x2, x3) , точка S = (s1, s2, s3) и
вектор a = (a 1, a 2, a 3). Лучевым преобразованием функции f(x) будем
называть функцию
[pic],
являющуюся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S в
направлении вектора a .
Наряду с функцией [pic]в некоторых ситуациях рассматривается функция
[pic],
являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой
интегралов вдоль лучей из точки z в направлениях a и -a .
Множество точек S, для которых известно лучевое преобразование обычно
является множеством точек, принадлежащих некоторой кривой, являющейся
траекторией движения источника излучения.
Пусть задана кривая, по которой движется источник, Ф(l ) = (Ф1(l ), Ф2(l
), Ф3(l )) параметр l пробегает некоторый интервал Щ действительной прямой.
Для любого a = (a 1, a 2, a 3) и l О Щ определим функцию
[pic].
Функция g(a ,l ) есть интеграл от функции f(x) вдоль проходящего через
точку Ф(l ) в направлении вектора a . Отметим, что при любом фиксированном
l функция [pic]является l однородной функцией a степени -1:
[pic]. (2.1.1)
Для функций, имеющих финитный носитель, в [101] получена формула:
[pic]. (2.1.2)
При фиксированном l функция G+(b ,l ) есть преобразование Фурье от
функции [pic]по переменной a , b = (cosq cosf , sinq cosf , sinf ). В
формуле (2.1.2) l зависит от x и b и выбирается из условий: скалярное
произведение (b , x) равно (b ,f (l )), но (b ,Ф(l )) не равно нулю.
Значение функции f(x) может быть восстановлено в точке x, если такое l
существует для любого b . Геометрически это означает, что любая плоскость,
пересекающая точку x носителя функции, пересекает кривую Ф(l ) так, что
знаменатель в (2.1.2) не обращается в нуль. Примером кривой,
удовлетворяющей условиям Кириллова-Туя, является совокупность двух
единичных окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, если
носитель лежит в единичном шаре. Для цилиндрических объектов можно
использовать винтовую линию.
В формулу (2.1.2) входит G+(b ,l ) - преобразование Фурье от функции
[pic], однако преобразование Фурье, понимаемое в обычном смысле:
[pic],
в данном случае не существует, так как [pic]является однородной и имеет
на бесконечности порядок 1/к a к . Преоразование Фурье здесь понимается в
смысле обобщенных функций. Поскольку [pic]однородная функция, то при любом
фиксированном l исходные данные, полностью определяются своими значениями
на поверхности к a к =1. Переход к функции, заданной во всем пространстве
R3 при использовании преобразования Фурье приводит к обобщенным функциям.
Преобразование Фурье в смысле обобщенных функций является линейным
функционалом над соответствующим пространством. Подробнее об этом будет
сказано в следующих параграфах. Здесь нам важно отметить, что не любой
функционал задается с помощью регулярной функции. Для того, чтобы
использовать формулы типа (2) для построения алгоритмов, необходимо
показать, что [pic]задается с помощью регулярной функции и иметь для нее
выражения через функцию [pic]. В работе [101] дается выражение, связывающее
[pic], при x отличном от нуля с помощью регулярных операций с искомой
функций f(x), то есть фактически показано, что функционал [pic]задается с
помощью регулярной функции. Однако для построения алгоритмов
томографической реконструкции нужно [pic]выразить не через искомую функцию
f(x), а через исходные данные [pic].
Итак, перейдем к нахождению [pic]. Мы будем использовать то, что
[pic]является однородной функцией по a фиксированном l . В [95] доказано
следующее
Утверждение: Пусть [pic]есть преобразование Фурье в смысле обобщенных
функций от однородной функции [pic], тогда
[pic]. (2.1.3)
Строгое доказательство требует существенного использования аппарата
обобщенных функций, понимаемых как линейные функционалы над соответствующим
пространством. Здесь мы ограничимся изложением основных моментов
доказательства. В частности, замену переменных в расходящихся интегралах мы
будем делать по тем же правилам, что и в обычных.
Представим [pic]в виде
[pic],
(поскольку параметр l фиксирован, его на данном этапе можно опустить).
Как уже отмечалось выше, интеграл является расходящимся, тем не менее,
переходя к сферическим координатам по обычным правилам, получаем:
[pic],
где b = b (j ,q ) = (cosq cosj , sinq cosj , sinj ), j О [-p /2, p /2], q
О [0, p ].
Учитывая, что [pic], а также то, что интегрирование по углам j и q
соответствует интегрированию по единичной сфере, приходим к выражению
[pic].
Интеграл по r есть преобразование Фурье от r ++. Используя таблицы для
преобразования Фурье обобщенных функций [19], приходим к выражению (2.1.3).
Для действительных функций f(x) в формуле (2) нужна мнимая часть [pic]:
[pic].
Используя обобщенные функции, сосредоточенные на поверхности [19],
получаем следующее следствие:
[pic].
Здесь S(x ) = {g О S2Ѕ (x , g ) = 0), [pic]v производная по направлению x
. Подставляя в (2.1.2) функции [pic]и [pic], зависящие от параметра l ,
получаем формулу обращения, пригодную для построения численных алгоритмов:
[pic](2.1.4)
Здесь S(x ) v окружность, являющаяся пересечением единичной сферы и
плоскости P(b ). Плоскость P(b ) проходит через начало координат
ортогональна вектору b . Символ W (x ) означает интегрирование по
окружности. Оператор L(b , D) означает дифференцирование функции [pic]в
направлении вектора b :
[pic],
при этом l , зависящее от b и x, остается фиксированным.
Как и выше, b = b (q , j ) = (cosq cosj , cosq sinj , sinq ), l = l (q ,
j ) = l (x, b ) такое, что скалярное произведение (x, b ) равно (b , g (l
)) и (b , g /(l )).
В формуле (4) используются регулярные функции, и она пригодна для
построения численных алгоритмов.
Замечание. А.С. Денисюком независимо и другим методом, без явного
использования преобразования Фурье обобщенных функций, получены формулы
обращения функции g+ в Rn . При n = 3 формулы А.С. Денисюка и формулы,
получаемые изложенным способом из формулы Туя, совпадают.
Выше были получены формулы, позволяющие строить численные алгоритмы
восстановления функции f(x) = f(x1, x2, x3) по ее лучевому преобразованию
[pic]
Далее мы будем опускать символ f и использовать обозначение [pic].
При фиксированном S функция [pic]является функцией в трехмерном
пространстве, но в силу ee однородности существуют поверхности, такие что
[pic]полностью определяется своими значениями на них (поверхности
расположения приемников излучения).
Исходные данные в виде функции [pic]удобно использовать, если матрица
приемников расположена на сфере. Однако в реальных ситуациях матрицу
приемников обычно располагают на плоскости или поверхности цилиндра. В этих
случаях удобно использовать несколько иной вид исходных данных.
Плоский детектор.
Мы будем предполагать, что для источника, находящегося в точке S = (s1,
s2, s3), исходные данные регистрируются в плоскости P, определяемой
уравнением xs1 + ys2 + zs3 = -Ѕ SЅ . Плоскость P, определяется следующими
условиями:
плоскость P перпендикулярна лучу, соединяющему источник с началом
координат;
плоскость P проходит через точку S= (s1, s2, s3.)
Расстояние D между плоскостью регистрации и источником равно удвоенному
расстоянию от источника до начала координат. В плоскости регистрации будем
использовать прямоугольную систему координат (p1, p2), начало которой
находится в точке пересечения с лучем, соединяющим источник с точкой (0, 0,
0). Таким образом, если источник находится в точке S = (s1, s2, s3), то
начало системы координат (p1, p2) в плоскости наблюдения находится в точке
с трехмерными координатами -s1, -s2, -s3 =- S.
При реконструкции в конусе лучей наиболее распространенными примерами
траекторий источника являются винтовая линия и совокупность двух
окружностей лежащих в пересекающихся плоскостях.
Траектория в виде двух окружностей.
Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.
Направление оси p2 в плоскости регистрации будет совпадать с направлением
оси z.
Ось p1 системы координат возьмем на линии пересечения плоскости
регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется
источник. Для окончательного определения системы координат необходимо
выбрать одно из двух возможных направлений оси p1. Если s3 = 0, s1 = r cosl
, s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный
единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l
+p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s2/Ѕ SЅ , s1/Ѕ SЅ , 0).
Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p1, p2), имеет
следующие пространственные координаты:
x = -p1 sinl - r cosl = -p1 s2 /Ѕ SЅ - s1 ,
y = p1 cos l - r sinl = p1 s1 /Ѕ SЅ - s2 , z = p2.
В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по
лучам, соединяющим точки (p1, p2) в плоскости регистрации с источником S.
Регистрируемая функция gr(p1, p2, l ) есть интеграл от искомой функции
f(x) = f(x1, x2, x3) вдоль луча исходящего из точки S = (s1, s2, s3) =
(rcosl , r sinl , 0) в направлении точки
P = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2 ) = (-p1 s2/Ѕ SЅ v s1, p1
s1/Ѕ SЅ v s2, p2).
Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:
[pic]
При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v
через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2).
Итак, мы имеем соотношение между функциями gr(p1, p2, l ) и [pic]:
[pic],
[pic].
Наряду с обозначением gr(p1, p2, l ), мы будем использовать обозначения
gr(p1, p2, S(l )), gr(p1, p2, S) и gr(P, S) , здесь S(l ) точка на
траектории источника, соответствующая параметру l , P = (p1, p2). Мы
выразили функцию gr(p1, p2, l ) через функцию [pic]= g+ (x , l ).
В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g+ (x ,
l ) =[pic] для того, чтобы использовать gr(p1, p2, l ), регистрируемую в
случае плоского детектора, нужно выразить g+ (x , l ) используя gr(p1, p2,
l ).
Для дальнейшего нам потребуются координаты (p1, p2) (в системе координат
плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с
лучем (S +tx ) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Эти координаты имеют
вид:
[pic]
[pic].
[pic].
Теперь мы можем выразить [pic]используя gr(p1, p2, l ):
[pic]= g+ (x , l ) = gr(2 Ѕ S(l )Ѕ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /[pic], -2Ѕ
S(l )Ѕ 2x 3 /[pic],l ),
если [pic]< 0, [pic]= 0, если [pic]і 0.
Итак, мы имеем следующее соотношение между функциями:
g+ (P, l ) и [pic]= g+ (x , l ); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,);
[pic]= g+ (x , l ) =
= gr(2 Ѕ S(l )Ѕ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /[pic], - 2Ѕ S(l )Ѕ 2x 3 /[pic],l
),
если [pic]< 0,
[pic]= 0, если [pic]і 0.
При переходе от функции g+ (x , l ) = [pic]к функции gr (P, S)
интегрирование по окружности S(l ) в трехмерном пространстве заменяется на
интегрирование по прямым линиям в плоскости регистрации. Отметим, что
формулы обращения лучевого преобразования, использующие интегрирование
вдоль прямых в плоскости регистрации.
4.3 Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам
обращения лучевого преобразования
Обобщенная функция это непрерывный линейный функционал на пространстве К
всех функций a (x), имеющих производные всех порядков и финитный носитель
(свой для каждой из функций ? (x)). Любая регулярная интегрируемая функция
f(x) задает линейный функционал (f, a ):
[pic]. (2.2.1)
Однако на пространстве функций K существуют непрерывные линейные
функционалы, которые не могут быть заданы с помощью регулярных
интегрируемых функций, наиболее известными примерами таких функционалов
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|